双曲线几何性质的练习题

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一、双曲线几何性质有关的选择题
1.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是  D       
A  -y²=1和 - =1    B  -y²=1和y²- =1
C  y²- =1和x²- =1     D -y²=1和 - =1
2．已知双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 （D  ） 
    A．1             B．2             C．3             D．4
3.与双曲线 有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是   (C   )
A  8           B  4            C  2            D  1
4.双曲线kx²+4y²=4k的离心率小于2，则k的取值范围是  (  C  )
A  （-∞,0）      B  (-3,0)      C  (-12,0)      D  (-12,1)
5已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为  （D）                                                     
(A)1.5            (B)3            (C)0.5             (D)3.5
6如果双曲线 ＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（A ）
 (A)             (B)         (C)          (D)
7、设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ，使
且 ，则双曲线的离心率为（B  ）
A．                B．               C．               D．
8．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，且 ，则 的面积等于(C   )
（Ａ） 　　     （Ｂ） 　　       （Ｃ） 　　      （Ｄ）
二.双曲线几何性质有关的填空题
9.双曲线 的离心率e∈(1, 2)，则k的取值范围是    ．
10、若双曲线x²－y²=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为 ，则a＋b的值是    ．
11．已知双曲线 的离心率的取值范围是 ，则两渐近线夹角
的取值范围是       ．
三、双曲线几何性质有关的解答题
12.设椭圆与双曲线有共同焦点F₁(─4,0),F₂(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.
解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a (2<a<4)，则椭圆长半轴长为2a,
由半焦距为4, 得它们的方程分别为：   (1) 和 =1  (2)
(2)´4─(1)得：    (3),代入(1)得：a²=2|x|
再代入(3)化简得：(x─5)²+y²=9  或(x+5)²+y²=9  .
解法2：用定义法求解. |F₁P|+|F₂P|=2||F₁P|─F₂P||, 解得：|F₁P|=3´ |F₂P|   或3´ |F₁P|=|F₂P| .即： 3 或  3 ,
化简得：(x─5)²+y²=9  或(x+5)²+y²=9．
对双曲线几何性质的一些感悟
1涉及双曲线上的点 到两个焦点 、 的距离问题为 ，即为焦半径公式，请同学们可以尝试推导。
2解决直线与双曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更方便。
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