正态分布经典例题讲解

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　　例1．正态总体为μ=0, σ=1时的概率密度函数是f(x)=, 　x∈(-∞, +∞) ,
　　（1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。

　　证明：（1）任意的x∈R，f(-x)=,
　　∴f(x)是偶函数。

　　（2）任取x₁<x₂<0，则，

　　∴ ， ∴ ，即f(x₁)<f(x₂)。

　　这说明f(x)在(-∞,0)上是递增函数，

　　同理可证f(x)在(0, +∞)上是递减函数。

　　例2．随机变量ξ服从N(0,1)，求下列值。
　　（1）P(ξ≥2.55)　 （2）P(ξ<-1.44)　 （3）P(|ξ|<1.52)

　　思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；
P(a<x<b)=(b)-(a)；p(x≥x₀)=1-p(x<x₀)。

　　解：（1）P(ξ≥2.55)=1-p(ξ<2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。　　

　　（2）P(ξ<-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。

　　（3）P(|ξ|<1.52)=p(-1.52<ξ<1.52)=(1.52)-(-1.52)
　　　　=2(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。

　　例3．设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x), x∈(-∞,+∞)。
　　（1）求μ，σ；（2）求p(|x-1|<)及p(1-<x<1+)。

　　思路分析：对照正态曲线函数，可以得出μ，σ；利用一般正态总体N()与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2）。

　　解：（1）整理得：f(x)=，所以，μ=1, σ，故。

　　（2）p(|x-1|<)=p(1-<x<1+)=F(1+)-F(1-)
　　　　=()-()=(1)-(-1)=2(1)-1
　　　　=2×0.8413-1=0.6826。

　　　p(1-<x<1+2)=F(1+2)-F(1-)
　　=()-()=(2)-(-1)=(2)+(1)-1
　　=0.9772+0.8413-1=0.8185。

　　例4．某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(50,100), 第二条线路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(60, 16)，
　　（1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？
　　（2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？

　　思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。

　　解：设x为行车时间。

　　（1）走第一条路及时赶到的概率为：
　　P(0<x≤70)=≈=(2)=0.9772。

　　走第二条线路及时赶到的概率为：
　　P(0<x≤70)=()=(2.5)=0.9938。
　　因此应走第二条线路。

　　（2）走第一条线路及时赶到的概率为：
　　P(0<x≤65)≈()=(1.5)=0.9332。

　　走第二条线路及时赶到的概率为：
　　P(0<x≤65)≈()=(1.25)=0.8944。
　　因此应走第一条线路。
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