在复数范围内解方程练习题

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一、在复数集中解下列方程:
　　　　　　　
　　　　
　　二、关于x的方程x²-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)有实根，求这个实根及实数m的取值范围。
　　三、关于x的方程x²+x+1=0的两个根为α,β，求α¹⁰⁰+β¹⁰⁰的值。
　　四、已知虚数α，β是实系数一元二次方程的两个根且，求。
　　在复数范围内解方程练习题参考答案:
　　一、1．可见为其一个根，所以其余三个根为, ,
　　。
　　2. 法一:令x=a+bi(a,b∈R)，则由已知有，解之有
　　。　　∴根为0, i,-i。
　　法2:∵x²+|x|=0，∴x²=-|x|, ∴|x²|=|-|x||
　　即 |x²|=|x|，解之有|x|=0或|x|=1,

　　当|x|=0时,有x=0,

　　当|x|=1时，代入原方程有x²+1=0，∴x²=-1,
　　∴ x=i或x=-i。
　　3．∵, 其平方根,
　　∴ 由求根公式x=有此方程的两个根分别为-2, -3i。

　　4．根为-1±2i。
　　二、这是复系数方程，已不能用判别式确定有实根的条件，若用求根公式也很繁，所以用复数为零的充要条件来做，令x₀为方程的实根，则

　　∵x₀, m∈R, ∴　解之有x₀=-,m=。
　　三、由求根公式有x²+x+1=0的两根α=,β=,且可知:α³=1，β³=1，
　　由其有α³ⁿ=1,β³ⁿ=1(n∈N),　∴α¹⁰⁰+β¹⁰⁰=α⁹⁹⁺¹+β⁹⁹⁺¹=α+β=-1。
　　四、∵　∴ ，

　　又,,　∴，　即，　即α³=β³，
　　∴ ,

　　∵ , ∴，又，
　　∴ ，解之有。
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