圆形练习题及答案（六）

(2)①∵PF=AP=a．∴AF=．OE=OF=一。

∴，

∵S1=S2 ，∴，解得。

∵，∴ 。

②不存在。理由如下：

∵，

∴当时，S取得最小值为。

∵，∴不存在这样实数a，使S＜。

【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次函数的最值。

【分析】(1)根据已知条件，证出△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形即易求出△OEF的面积。

（2）①由S1=S2列出方程，解之即可。

②求出S关于的函数关系式，由二次函数的最值求出S的最小值，与比较即可。

9. （江苏省苏州市2008年9分）)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A

为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点．作MT⊥BC

于T

(1)求证AK=MT；　　

(2)求证：AD⊥BC；

(3)当AK=BD时， 求证：．

【答案】证明：（1）∵∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，MT⊥BC，∴AM=MT。

又∵AM=AK，∴AK=MT。

（2）∵BM平分∠ABC交AC于M，∴∠ABM=∠CBM。

又∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM。

又∵∠ANM=∠BND，∴∠AMN=∠BND。

∵∠BAC=900，∴∠ABM＋∠AMB=900。∴∠CBM＋∠BND=900。

∴∠BDN=900。∴AD⊥BC。

（3）∵BNM和BPK是⊙A的割线，∴BN·BM=BP·BK。即。

∵AK=BD，AK=MT，∴BD=MT。

∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB=∠MTC=900。∴∠C＋∠CMT=900。

∵∠BAC=900，∴∠C＋∠ABC=900。∴∠ABM=∠CMT。

在△ABD和△CMT中，∵，∴△ABD≌△CMT（ASA）。

∴AB=MC。

∵AK=AM，∴AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。∴。

【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，垂直的判定，割线长定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，有AM=MT，从而由圆的半径相等结论。

（2）由已知，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到∠CBM＋∠BND=900的结论，从而根据三角形内角和定理得到∠BDN=900，即AD⊥BC。

（3）根据割线长定理，有，故只要证得BK=AC即可证得结论。由△ABD≌△CMT可得AB=MC，由圆半径相等得AK=AM，从而AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。

10. （江苏省苏州市2011年8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．

(1)弦长AB等于　 ▲　 （结果保留根号）；

(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

【答案】解: (1)

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