圆形练习题及答案（六）

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【答案】解：（1）∵AD∥OC，∴∠A=∠COB。

又∵AB是直径，BC是⊙O的切线，∴∠D=∠OBC=90°。∴△ADB∽△OBC。
（2）在Rt△OBC中，OB=AB=1，BC=，∴OC=

∵△ADB∽△OBC，∴，即。∴。

【考点】相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据平行线的性质得∠A=∠COB，根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC，就可以判定△ADB∽△OBC。

（2）根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长。

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7. （江苏省苏州市2006年7分） 如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连结BD．

　 (1)求证：∠ADB=∠E；　 (2)求证：AD2=AC·AE；

　 (3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明

【答案】解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E。

∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，∴∠ADB=∠C。

又∠ABC=∠C，∴∠ADB=∠E。
（2）证明：∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，∴△ADB∽△AED。

∴，即AD2=AB•AE。

又∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，∴AD2=AC•AE。

（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。证明如下：

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC。

∵∠DBC所对的是弧，∠EAD所对的是弧，

且，

∴∠DBC=∠EAD。∴∠EDB=∠EAD。

又∠DEB=∠AED，∴△DBE∽△ADE。

【考点】圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由DE∥BC，可得∠ABC=∠E；由∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，得∠ADB=∠C；又∠ABC=∠C，因此∠ADB=∠E。

（2）由∠ABC=∠C得AB=AC；由△ADB∽△AED得；即AD2=AB•AE=AC•AE。

（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。由，得∠BAD=∠DBC；由DE∥BC，得∠EDB=∠DBC；又∠BDE=∠BAD，因此△DBE∽△ADE。

8. （江苏省苏州市2007年8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一

点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F

　 (1)设AP=1，求△OEF的面积．

　 　 (2)设AP=a (0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。

①若S1=S2，求a的值；

②若S= S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜?若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

【答案】解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°。

又∵ AB=AC，∴∠B=∠C=45°。

∵OA⊥BC，∴∠B=∠1=45°。∵PE⊥ AB，∴∠2=∠1=45°。∴∠4=∠3=45°。

则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形。

∵AP=l，AB=4，∴AF=，OA=。∴OE=OF=。

∴△OEF的面积为

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