圆形练习题及答案（三）

【答案】解：（1）连接BD，OD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。

∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。

∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。

又∵DC∥AB，∴OD⊥DC，∴CD与⊙O相切。

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，

则AF=AE=×10=5。

∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。

∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。

在Rt△AOF中，sin∠AOF=，

∴sin∠ADE= sin∠AOF =。

【考点】平行四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的判定，垂径定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接OD，BD，由AB为直径，∠AED=45°，证得△ABD是等腰直角三角形，即AD=BD，

然后由等腰三角形的性质，可得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可

证得CD与⊙O相切。

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6，∠AOF=∠AOE，又由圆周角定理

可得∠ADE=∠AOE，从而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得

答案。

11.（2012四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由；

（2）(3分)求∠BOP的度数；

（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。

∵AB=AC，∴BD=DC。

（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

∴∠BAD=∠CAD 。∴。

∴BD=DE。

∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。

∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°，

∴∠DCE=∠ABC= (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。

∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。

∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。

∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。

∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。

（3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴。

又∵，∴。∴。

又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。

∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙的切线。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。

【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。

（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。

（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知

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