12-20 22:59:14 浏览次数:314次 栏目:初三数学试题
∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°。
∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°。
又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG。
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。
(2)AC∥EF,理由如下:连接GD,如答图2所示。
∵KG2=KD•GE,∴。
又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK。
∴∠E=∠AGD。
又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C。∴AC∥EF。
(3)连接OG,OC,如答图3所示。由(2)∠E=∠ACH,∴sinE=sin∠ACH=。
∴可设AH=3t,则AC=5t,CH=4t。
∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。
在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=()2,解得t=
。
设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r﹣3t)2+(4t)2=r2,解得r=t=
。
∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形。
在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=
,
∴FG=。
【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,锐角三角函数定义。
【分析】(1)如答图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE。
(2)AC与EF平行,理由为:如答图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF。
(3)如答图3所示,连接OG,OC.首先求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度。
2.(2012四川乐山10分)如图,△ABC内接于⊙O,直径BD交AC于E,过O作FG⊥AB,交AC于F,交AB于H,交⊙O于G.
(1)求证:OF•DE=OE•2OH;
(2)若⊙O的半径为12,且OE:OF:OD=2:3:6,求阴影部分的面积.(结果保留根号)
【分析】(1)由BD是直径,根据圆周角定理,可得∠DAB=90°,又由FG⊥AB,可得FG∥AD,即可判定△FOE∽△ADE,根据相似三角形的对应边成比例,即可得
,然后由O是BD的中点,DA∥OH,可得AD=2OH,则可证得OF•DE=OE•2OH。
(2)由⊙O的半径为12,且OE:OF:OD=2:3:6,即可求得OE,DE,OF的长,由,求得AD的长,又由在Rt△ABC中,OB=2OH,可求得∠BOH=60°,继而可求得BH的长,又由
S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB,即可求得答案。
3.(2012四川宜宾10分)如图,⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点,其中⊙O1的半径r1=2,⊙O2的半径r2=.过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙O1和⊙O2于点C.D,连接CP、DP,过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A.B,连接AP、BP、AC.DB,且AC与DB的延长线交于点E.
(1)求证:;
(2)若PQ=2,试求∠E度数.
【答案】(1)证明:∵⊙O1的半径r1=2,⊙O2的半径r2=,∴PC=4,PD=2
。
∵CD⊥PQ,∴∠PQC=∠PQD=90°。
∴PC.PD分别是⊙O1、⊙O2的直径,在⊙O1中,∠PAB=∠PCD,在⊙O2中,∠PBA=∠PDC,
∴△PAB∽△PCD。∴,即
。
(2)解:在Rt△PCQ中,∵PC=2r1=4,PQ=2,∴cos∠CPQ=
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