圆形练习题及答案（三）

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。

（2）AC∥EF，理由如下：连接GD，如答图2所示。

∵KG2=KD•GE，∴。

又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。

∴∠E=∠AGD。

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。

（3）连接OG，OC，如答图3所示。由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=。

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。

∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，

∴FG=。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。

【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。

（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。

（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。

2.（2012四川乐山10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．

（1）求证：OF•DE=OE•2OH；

（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

【分析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF•DE=OE•2OH。

（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可求得BH的长，又由

S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案。

3.（2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．

（1）求证：；

（2）若PQ=2，试求∠E度数．

【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，∴PC=4，PD=2。

∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。

∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，

∴△PAB∽△PCD。∴，即。

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=

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