圆形练习题及答案（三）

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，由得，，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。

12.（2012四川自贡12分）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP。∴∠BAP=90°。

又∵AB=2，∠P=30°，∴AP=。

（2）证明：如图，连接OC，OD．AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。

∴∠ACP=90°。

又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。

在△OAD和△OCD中，∵OA=OC，OD=DD，AD=CD，∴△OAD≌△OCD（SSS）。

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）。

又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP。∴∠OAD=90°。

∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线。

【考点】切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在Rt△ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度。

（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD。

13.（2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB

于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。

(1)求证：P是线段AQ的中点；

(2)若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。

【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴。

又∵C是弧的中点，∴。∴。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。

∵AB是直径．∴∠ACB=90°。

∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。

∴PA=PQ，即P是AQ的中点。

（2）∵，∴∠CAQ=∠ABC。

又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴。

又∵AQ=，BA=10，∴。

设AC=3k，BC=4k，则由勾股定理得，，解得k=2。

∴AC=6，BC=8。

根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH。∴CH=。

又∵CH=HE，∴CE=2CH=。

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