圆形练习题及答案（二）

【答案】解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。理由如下：

∵P是优弧的中点，∴。∴PB=PC。

若△PAD是以AD为底边的等腰三角形，则PA=PD。

又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB。∴∠DPA=∠BPC。∴∠BPD=∠CPA。

在△PBD与△PCA中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD=PA ，∴△PBD≌△PCA（SAS）。

∴BD=AC=4。

由于以上结论，反之也成立，

∴当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。

【考点】圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等和相似三角形的判定与性质。

【分析】根据等弧对等弦以及全等和相似三角形的判定与性质进行求解。

7.（2012贵州铜仁12分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：CD∥BF；

（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．

【答案】解：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB。

∵CD⊥AB，∴CD∥BF。

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

∵⊙O的半径5，∴AB=10。

∵∠BAD=∠BCD，∴cos∠BAD=cos∠BCD=。

∴AD= AB •cos∠BAD =10×=8。

∴线段AD的长为8。

【考点】切线的性质，平行的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）由BF是⊙O的切线和AB是⊙O的直径，根据切线的性质，得BF⊥AB；由已知AB⊥CD，根据平行的判定即可得出结论。

（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角是直角的性质，得△ABD是直角三角形，从而应用锐角三角函数定义解Rt△ABD即可求得线段AD的长。

8.（2012贵州遵义10分）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．

（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．

【答案】解：（1）线段AC是⊙O的切线。理由如下：

∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），

∴∠BDO=∠CAD（等量代换）。

又∵OA=OB（⊙O的半径），∴∠B=∠OAB（等边对等角）。

∵OB⊥OC（已知），∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。

∴线段AC是⊙O的切线。

（2）设AC=x．

∵∠CAD=∠CDA（已知），∴DC=AC=x（等角对等边）。

∵OA=5，OD=1，∴OC=OD+DC=1+x；

∵由（1）知，AC是⊙O的切线，

∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，解得x=12。

∴AC=12．

【考点】切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知

∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。所以线段AC是⊙O的切线。

（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度。

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