圆形练习题及答案（二）

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，AE=4，

∴。

设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．

在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。

∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。

连接BC，则∠ACB=90°。

∵∠E=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF。

∴AC：4=2R：4R，∴AC=2。

∴⊙O的半径为3，AC的长为2。

【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD=∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线。

（2）先解直角△AEF，由sin∠F=，得出AF=3AE=12，再在Rt△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，设⊙O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出⊙O的半径。连接BC，证明BC∥EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。

4.（2012贵州黔东南12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．

（1）求证：△ABC∽△BDC．

（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．

 

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5.（2012贵州黔南10分）已知，如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的的延长线上，∠BCD=∠A。

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点C作CE⊥AB于E。若CE=2，，求AD的长。

 

【答案】解：（1）证明：连接CO，

∵AB是⊙O直径，∴∠ACO+∠OCB=90°。

∵AO=CO，∴∠ACO =∠A。

∵∠BCD=∠A，∴∠BCD +∠OCB=90°，即∠OCD=90°。

∴OC⊥CD。

又∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线。[来源:学_科_网]

（2）∵OC⊥CD于C，∴∠COD +∠D=90°。

∵CE⊥AB于E，∴∠COD +∠OCE=90°。∴∠OCE =∠D。

∴cos∠OCE =cosD。

在△OCE中，∠OEC=90°，∴cos∠OCE =。

∵，CE=2，∴。∴CO=。

∴⊙O的半径为。

在△OCD中，∠OCD=90°，。

∴设CD=4k，OD=5k。

根据勾股定理，得，即，解得（已舍负值）。

∴OD=。AD=

【考点】切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】（1）连接CO，根据AB是⊙O直径，得出∠ACO+∠OCB=90°，再根据AO=CO，得出∠ACO =∠A，最后根据∠BCD=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD为⊙O的切线。

（2）根据OC⊥CD，得出∠COD+∠D=90°，再根据CE⊥AB，得出∠COD +∠OCE=90°，从而得出cos∠OCE =cosD，再在△OCE中根据余弦函数得出CO的值，在△OCD中根据勾股定理得出OD的值，即可得出AD的长。

6.（2012贵州黔西南10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明。

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