高二数学导数的几何意义导学案

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高二数学导数的几何意义导学案

　　2.2.2 导数的几何意义

　　(一)复习引入

　　1、函数的平均变化率：

　　已知函数 ， 是其定义域内不同的两点，

　　记

　　则 函数 在区间 的平均变化率

　　为

　　2、曲线的割线AB的斜率：

　　由此可知：曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。

　　3、函数在一点处的导数定义：

　　函数 在点 处的导数就是函数 在点 的瞬时变化率：记作：

　　(二)讲授新课

　　1、创设情境：

　　问题：平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线?

　　学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线

　　教师提问：能否将它推广为一般的曲线的切线定义?

　　教师引导学生举出反例如下：

　　教师举反例如下：

　　因此，对于一般曲线，必须重新寻求曲线的切线定义。

　　引例：(看大屏幕)

　　2、曲线在一点处的切线定义：

　　当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，

　　这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。

　　教师导语：我们如何确定切线的方程?由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只需求切线的斜率。

　　那如何求切线的斜率呢?

　　引例：(看大屏幕)：

　　3、导数的几何意义：

　　曲线 在点 的切线的斜率等于

　　注：点 是曲线上的点

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　　(三)例题精讲

　　例1、求抛物线 过点(1，1)的切线方程。

　　解：因为

　　所以抛物线 过点(1，1)的切线的斜率为2

　　由直线方程的点斜式，得切线方程为

　　练习题:求双曲线 过点（2， ）的切线方程。

　　答案提示：

　　例2、求抛物线 过点（ ，6）的切线方程。

　　由于点（，6）不在抛物线上，可设该切线过抛物线上的点（ ， ）

　　因为

　　所以该切线的斜率为 ，

　　又因为此切线过点( ，6)和点( ， )

　　所以

　　因此过切点(2，4)，(3，9 )切线方程分别为： 即

　　(四)小结:

　　利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：(可让学生归纳)

　　①求出函数 在点 处的导数

　　②得切线方程

　　注：点 是曲线上的点

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