12-20 22:59:14 浏览次数:281次 栏目：高二数学辅导
高二数学超越不等式导学案
超越不等式
一，理论知识汇总
(一)，分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等价转化
f(x) g(x) >0⇔f(x)g(x)>0
f(x) g(x) <0⇔f(x)g(x)<0
f(x) g(x) ≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0
f(x) g(x) ≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0
例: 解关于x的不等式 ax-1 x+1 >0.
解 原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0
(1)当a=0时，原不等式为-(x+1)>0 解得x<-1;
(2)当a>0时，得 1 a >0解得x<-1或x> 1 a
(3)当a<0时，原不等式可化为 (x- 1 a )(x+1)<0
①若a=-1时，不等式无解; ②若a<-1时， 1 a >-1，解得-1
③若-1
综上所述：当a=0时，解集为(-∞，-1); 当a>0时，解集为(-∞，-1)∪( 1 a ，+∞);
当a=-1时，解集为?; 当a<-1时，解集为(-1， 1 a ); 当-1
(二)，高次不等式
方法:先因式分解，再使用穿线法.
注意: (1)因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式，可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立， 下方曲线对应区域使“<”成立.
例:解不等式 x2-4x+1 3x2-7x+2 ≤1
解: 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0
根据穿线法如图
不等式解集为:{x?x< 1 3 或 1 2 ≤x≤1或x>2}.
www.170xue.com(三)指数不等式
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a>1时，af(x)>ag(x) f(x)>g(x);
0ag(x) f(x)
(四)对数不等式
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a>1时，logaf(x)>logag(x f(x)>g(x)>0;
0logag(x) 0
(五)三角不等式
①形如:sinx≥a，sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈[0，2π]的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.
②形如:cosx≥a，cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，
还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx 及y2=a(或y3=b)， 的图像，先得出满足条件x∈ 的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.
③形如:tanx≥a，tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式，有直接的结论可用:
tanx≥a的解集是: .
tanx≤b的解集是: .
a≤tanx≤b的解集是:[kπ+arctana，kπ+arctanb]，k∈Z.
练习：
1.不等式 的解集是 ( )
A.( ，1)∪(1，10) B.( ，1)∪(2，10) C.( ， 10) D.(1，+∞)
2.已知不等式 对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 A.a> B.a< C.0
3.不等式 解集是 ( )
A.(2，4) B.(-2，4) C.(-4，2) D.(-4，-2)
4.不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是 ( )
A.(2，4) B.(-2，4) C.(-4，2) D.(-4，-2)
5.若α∈(0， )，则不等式 的解集是 ( )
A.(-1， ) B.( ， ) C.(-1， ) D.( ，1)
6.设A={x| >lg(x-1)}，B={x| ≤lg(x-1)}，则A∪B等于 ( )
A. R B.(1，+∞) C.(1， ) D.(1， )
7.不等式 <1的解集为 ( )
A.(0， ) B.( ，+∞) C.( ，1) D.(0， )∪(1，+∞)
8.不等式 的解集为 ( )
A.(3，+∞) B.(1，5) C.(1，4)∪(4，5) D.(3，4)∪(4，5)
9.若不等式x2-logmx<0在(0， )范围内恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10.不等式 >5x-3的解集是 .
11.当0
12.不等式sinx≤- 的解集为 .
13.不等式tan(x- )≥ 的解集为 .
14，解不等式 (1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x2-4x+1 3x2-7x+2 ≤1
15.解下列指数不等式:
(1) ; (2)|2x-3|+4x-3>0.
16.解对数不等式:logx5-2log x>3.
17.解关于x的不等式:
18.解不等式:
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