《数学归纳法》课前预习

　　概述

　　数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

　　数学归纳法

　　（一）第一数学归纳法：

　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

　　（1）证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况；

　　（2）假设当n=k（k≥ [n的第一个值]，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

　　（二）第二数学归纳法：

　　对于某个与自然数 有关的命题 ，

　　（1）验证 n=n0时 P(n)成立；

　　（2）假设n
　　综合（1）（2）对一切自然数 n(≥n0)，命题P(n)都成立；

　　（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

　　（1）对于无穷多个自然数命题 P（n）成立；

　　（2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，

　　综合（1）（2），对一切自然数 n(>n0),命题P(n)都成立；

　　（四）螺旋式归纳法

　　P（n），Q（n）为两个与自然数 有关的命题，假如

　　（1）P(n0)成立；

　　（2）假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；

　　综合（1）（2）,对于一切自然数n（>n0），P(n),Q(n)都成立；

　　应用

　　1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

　　2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

　　3.证明数列前n项和与通项公式的成立

　　4.证明与自然数有关的不等式

　　数学归纳法的变体

　　在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

　　从0以外的数字开始

　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

　　第一步，证明当n=b时命题成立。 第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。

　　只针对偶数或只针对奇数

　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

　　奇数方面：

　　第一步，证明当n=1时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

　　偶数方面：

　　第一步，证明当n=0或2时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

　　递降归纳法

　　数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

　　数学归纳法的合理性

　　数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理)。但是他可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：

　　自然数集是良序的。注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说,两个都是等价的。