高二数学棱柱与棱锥导学案

标签：高二数学辅导资料,高二学习方法,http://www.170xue.com 高二数学棱柱与棱锥导学案,http://www.170xue.com

高二数学棱柱与棱锥导学案

　　一、对几种棱柱的理解

　　1.斜棱柱的底面可以是正多边形，此时侧棱不垂直于底面，所以它不是直棱柱.

　　2.直棱柱的底面可以是正多边形，所以正棱柱是直棱柱的特例.

　　3.在斜棱柱的侧面中，有的可以是矩形，如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形，那么它们的公共侧棱垂直于底面.此棱柱一定为直棱柱.

　　二、对于四棱柱中关系的理解

　　三、参考例题

　　[例1]在直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AD=3，A1A=4，AB=5，∠DAB=60°，那么这个直平行六面体的对角线AC1与BD1的长分别是

　　分析：将“空间问题平面化”的思想应用到解题中，再结合平面几何中的勾股定理、余弦定理使问题获解.

　　解析：∵AD=3，AB=5，∠DAB=60°，

　　由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos60°.

　　∴BD= .

　　而BD12=AA12+BD2，

　　∴BD1= .同理可求得AC1= .

　　答案：A

　　[例2]用一个过四棱柱底面一边的平面截正四棱柱，截面是

　　A.正方形　　 B.矩形

　　C.菱形　　 D.一般平行四边形

　　分析：充分利用已知正四棱柱的性质以及线线、线面、面面之间的平行、垂直关系的性质、判定定理.

　　解析：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，过棱AB的平面ABEF交对面CDD1C1于点E、F.

　　∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，

　　∴AB∥EF.

　　∵AB⊥平面BCC1B1，且BE 平面BC1，

　　∴AB⊥BE.

　　∴ ABEF是矩形.

　　答案：B

　　评述：灵活地将正四棱柱性质应用于解题中，可使问题变得简单易求.

www.170xue.com

　　[例3]四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面ABCD是菱形，且A′B=A′D，求证：

　　(1)对角面AA′C′C⊥截面A′BD;

　　(2)对角面D′DBB′是矩形.

　　分析：(1)中通过寻求线面垂直去实现面面垂直.

　　(2)中依据矩形的判定方法证得.

　　证明：(1)连结AC与BD交于点O，连结A′O.

　　∵A′B=A′D，∴A′O⊥BD.

　　∵底面ABCD是菱形，

　　∴AC⊥BD.∴BD⊥平面A′ACC′.

　　又BD 平面A′DB，

　　∴对角面AA′C′C⊥截面A′BD.

　　(2)由(1)知BD⊥A′A且A′A∥BB′，

　　∴BD⊥BB′.

　　∴对角面D′DBB′是矩形.

　　评述：此题是以正棱柱为载体考查了空间线线、面面、线面等问题，需对四棱柱的有关性质熟练掌握，否则思维受阻，无法继续做下去.

　　四、参考练习题

　　在长方体AC1中，CC1=15，CD=20，求线段B1D和BC之间的距离.

　　解：连结AB1、DC1，

　　∴BC∥平面AB1C1D.

　　∴BC与B1D之间的距离转化成了BC与平面AB1C1D之间的距离.

　　又∵平面BB1A⊥平面AB1C1D，

　　过点B作BH⊥AB1于点H，

　　∴BH⊥平面AB1C1D.

　　∴BH的长为所求距离.

　　∵在Rt△AB1B中，有

　　BH= =12，

　　∴B1D和BC间的距离为12.

　　注意：在多面体中，利用线线关系、线面关系，把空间问题转化为平面问题，最终化为解三角形问题，是立体几何中的常用技巧.

www.170xue.com

　　[例1]下图是正方体的一个展开图，当用它合成原来的正方体时，与边P重合的边是哪一条?

　　分析：此题可先将正方体合成，问题很快得到解决，若只考虑边的重合，会更快地得出结论.

　　解：首先有L和K重合，其次有I和J重合，则P与H重合.

　　[例2]如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个由四个三角形围成的几何体(以后要学习的四面体)，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么在这个几何体中必有

　　A.SG⊥△EFG所在平面

　　B.SD⊥△EFG所在平面

　　C.GF⊥△SEF所在平面

　　D.GD⊥△SEF所在平面

　　分析：题目中的SG1⊥G1E，EG2⊥G2F，FG3⊥G3S，这些条件在折叠后仍然不变，应从这一点入手解决此问题.

　　解析：∵SG1G2G3是一个正方形，

　　∴SG1⊥G1E，EG2⊥G2F，FG3⊥G3S.

　　∴折叠后的几何体中一定有

　　SG⊥GE，且SG⊥GF，即SG⊥△EFG所在平面.

　　答案：A

　　评述：这道题貌似涉及几何体(四面体)的概念，实则主要用来巩固直线和平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象力.

　　二、平行六面体性质的应用举例

　　[例3]已知直平行六面体的侧棱长为100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比是2∶3，求它的两个对角面的面积分别是多少?

　　分析：直平行六面体的对角面是矩形，本题关键是求出底面两条对角线的长，可应用方程思想解之.

　　解：已知AC1是直平行六面体，故它的两个对角面都是矩形，其侧棱AA1就是矩形的高.

　　由题意，得AB=23 cm，AD=11 cm，AA1=100 cm.

　　∵BD∶AC=2∶3，

　　设BD=2x，AC=3x，

　　在平行四边形ABCD中，

　　BD2+AC2=2(AB2+AD2)，

　　即(2x)2+(3x)2=(232+112)×2.

　　∴x=10.

　　∴BD=2x=20，AC=3x=30.

　　∴SBDD1B1=BD•BB1=20×100=2000 (cm2)，

　　SACC1A1=AC•AA1=30×100=3000 (cm2).

　　∴它的两个对角面的面积分别是2000 cm2、3000 cm2.

　　评述：在立体几何的运算中，要注意方程思想的应用，适当地选取未知数，找出等量关系.

　　对于平行四边形对角线的性质，不仅其本身作用较大，而且可以推广到空间，即平行六面体各棱的平方和等于对角线的平方和.

www.170xue.com

　　[例1]长方体的全面积为11，十二条棱长度之和是24，求这个长方体的一条对角 线长.

　　分析：要求长方体对角线的长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可.

　　解：设此长方体的长、宽、高分别是x、y、z，对角线长为l，依题意，得

　　由②，得x+y+z=6，从而由长方体对角线性质，得

　　l=

　　=

　　= =5.

　　∴长方体一条对角线的长为5.

　　评述：本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力.在求解过程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出x2+y2+z2.这就是数学中常用的一种技巧，给我们比较灵活的感觉.

　　[例2]直平行六面体的底面是菱形，过不相邻两对侧棱的截面的面积是Q1和Q2，求它的侧面积.

　　分析：由直棱柱的对角面面积求出底面边长或周长以及侧棱长，从而达到求出侧面积的目的.

　　解：设直平行六面体AC1的底面边长为a，侧棱长为l.

　　∵AC1是直平行六面体，

　　∴对角面ACC1A1和BB1D1D是矩形.

　　∴Q1=l•AC，Q2=l•BD.

　　∴AC= ，BD= .

　　∵底面ABCD是菱形，

　　∴AC2+BD2=4a2，

　　即( )2+( )2=4a2.

　　∴l2•a2= (Q12+Q22)，

　　al= .

　　∴S侧=4a•l=2 .

　　评述：以上例题同样采用了整体求法的手段，即没有单独去求a和l的值，而是求出a和l之积，从而简化了解题过程.

　　二、求棱柱侧面积的方法的应用

　　[例3]斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，AA1与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求棱柱的侧面积.

　　解法一：如图作A1O⊥面ABC于点O，

[1] [2]  下一页

，高二数学棱柱与棱锥导学案