《数列极限》课前预习

　　1、数列产生的背景
　　
　　数列和其他数学概念一样产生于人类认识自然和改造自然的活动中，如人类在早期的活动中，必然涉及到平面几何图形的面积计算问题，显然最先得到的是一些简单规则的图形的面积，如正方形、矩形、三角形、梯形等，那么，之后自然的问题是：更复杂而特殊的图形如园、抛物线下的图形等的面积该如何计算。最初处理这类问题采用的是近似计算的思想。看下面的例子。

　　例1、刘徽割圆术计算园的面积。

　　早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”（面积），也就是我们现在所熟悉的面积公式。为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。

　　根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”， 取“周三径一”（即 ）的数值来进行有关圆的计算，往往误差很大。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手，得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路，刘徽也开创了逻辑推理和论证的先河。按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。　　

　　刘徽的割圆术记载在九章算术第一卷方田章的第32题关于圆面积计算的注

　　文里。其主要思想是：在圆内作内接正六边形，每边边长均等于半径（这是做内接正六边形的原因）；再作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长，如此类推，求得内接边形的边长和周长，用此周长近似为园的周长，由此近似计算出园的面积。当n逐渐增大时，面积就越接近圆的面积。

　　其关键的步骤是当边数加倍时，如何计算边长。如下是一个由正2n边形的

　　边长计算加倍后的正4n边形的边长的过程：如图：

　　2、数列的定义

　　定义1.1 无穷（可列）个数按次序一个个排列下去或按正整数编号的可列无穷个数, 称为数列。

　　如1，，和2，4，6，…，2n，… 都是数列。由于数列中有无穷多项，不可能把每一项都写出来，因而，为书写和表示方便，我们引入数列的通项定义：把数列中每一项与一个正整数对应，如第一项与正整数1、第二项与正整数2、如此，任意的第n项与正整数n对应，然后用对应的正整数如用n的表达式把这一项表示出来，这个表达式就是数列的通项。通俗地说，数列的通项就是数列规律的表示。

　　定义1.2 若正整数n的表达式满足n=1时，x1为数列的第一项，n=2时x2为其第二项，对任意的n，为对应的第n项，则称x 为对应数列的通项，对应的数列记为{ x }。

　　如前面给出的两个数列分别记为和 {2n} 。以后就用通项表示一个给定的数列。

　　注、数列可看成特殊的函数――离散变量的函数: =f(n).

　　注、数列与集合的区别

　　数集中，元素间没有次序关系，重复出现的数是同一个元素。数列可以视为特殊的可列无穷数集，每个数都有确定的编号，有确定的顺序，因此，不同位置上的数是不同的元素。故不同的元素，值可以是相等的。 即靠位置（编号）确定元素。而不是靠大小。因而，有一个数允许在同一数列中重复出现,而不能看成一个元素。如，常数列:c,c,c…….，记为{ }, 其中 =c。而数列为：

　　－1，1，－1，1，……