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直线与椭圆的交点及位置关系,http://www.170xue.com
直线与椭圆
例1 已知椭圆C的焦点F1（－ ，0）和F2（ ，0），长轴长6，设直线 交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c= ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组 ,消去y得, .
设A( ),B( ),AB线段的中点为M( )那么: , =
所以 = +2= .也就是说线段AB中点坐标为(- , ).
评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一元二次方程的问题．
题型二 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题
例2
评析 “点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程
备选题
例3．在 中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求 的重心的轨迹方程。
解 如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。 设M为 的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知 ， ，于是 = = .根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.
26， ，又 ， ， ，故所求的椭圆方程为 .
评析 有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和 的重心有关，因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。 在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为 ，直线与椭圆的交点及位置关系
