三角形的＂四心＂ 练习题 讲解

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1  求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知   D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
求证   AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明   连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
.
设AD、CF交于点，同理可得，
则与重合，
 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
   已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.
证明  作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.

例2  求证：三角形的三条高交于一点.
已知  中，AD与BE交于H点.
求证  .
证明  以CH为直径作圆，

在以CH为直径的圆上，

同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得BED与BAD的关系
又与有公共角
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
例3

即.