抛物线的标准方程的求法

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如何求抛物线的标准方程
例1 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（—3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.
解1  设抛物线方程y²=—2px(p＞0)，则焦点F（— ,0)，由题设可得：
，解得
故抛物线的方程为y²=—8x,m的值为± .
解2  设抛物线方程为y²=—2px(p＞0)，则焦点F（— ,0），准线方程为x= .
根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则 +3=5，
∴p=4．因此抛物线方程为y²=—8x，又点M（—3，m)在抛物线上，于是m²=24，∴m=±
评析  比较两种解法，可看出运用定义方法的简捷.
例2如图所示，点
且设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
解：设，由知：R是TN的中点，  
 则
    则就是点N的轨迹曲线C的方程
 评析  此问题是平面解析几何和向量知识的结合，以向量为背景求圆锥曲线方程是命题的一种方向。
例3 ①已知抛物线的方程为 ，求它的准线方程及焦点坐标。
②求焦点是 的抛物线的标准方程。
       解：①∵   ∴焦点坐标为 ，准线方程为
              ②∵焦点在x轴的负半轴上      
                ∴它的标准方程为
评析：求抛物线的基本量时应该注意将其方程化为标准方程，抛物线的标准方程有四种形式。
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