高考中的复数应用

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1．已知z∈C，解方程。　　（全国·理）
　　本题考查复数相等的条件及解方程的知识。
　　解：设，将代入原方程，得：

　　,

　　整理得：，
　　根据复数相等的定义，得：　 由(1)得x=-1,
　　将x=-1代入(2)式，解得y=0, y=3。　∴ 。
　　2. 已知z=1+i,（1）设 求ω的三角形式；
　　（2）如果=1-i，求实数a,b的值。　　（全国·理）
　　本题考查共轭复数，复数的三角形式等基础知识及运算能力。
　　解：（1）由z=1+i，有
　　
　　（2）由z=1+i，有
　　由题设条件知：　根据复数相等的定义，
　　得　解得
　　说明：本题为94年解答题的第一题，难度系数为0.85，也就是说绝大多数考生都能较好地完成本题。每年解答题第一题都是这样难度等级为“易”的试题，回答此类试题时，一定力争不失分。
　　3．设z是虚数, ω=z+是实数，且-1<ω<2。(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
　　（2）设u=。求证：u为纯虚数；（3）求ω-u²的最小值。　　（96·上海）
　　本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算、不等式的知识，以及运算能力和推理能力。
　　解：（1）设
　　,
　　∵ ω是实数，b≠0，∴ a²+b²=1,即|z|=1,

　　∵ ω=2a, -1<ω<2，∴z的实部的取值范围是()。
　　（2）
　　∵a∈(),b≠0,　∴u为纯虚数。
　　（3）ω-u²=2a+=2a-=
　　∵ a∈(),　∴a+1>0。　∴ ω-u²≥2×2-3=1。

　　当a+1=，即a=0时上式取等号。　∴ω-u²的最小值是1。
　　说明：本题是道综合题，(1)和(2)属于基本题。在(3)中不难得到ω-u²=2a-，以后的变化需要一定的技巧，首先使的分子不含字母，=。在得到ω-u²=后，为使用平均值不等式，需将2a-1变形为2(a+1)-3。这样ω-u²=，不难用平均值不等式求得最小值。还需要注意，一定要讨论等号是否能成立。
　　4．已知复数, 。复数，z²ω³在复数平面上所对应的点分别为P，Q。证明
ΔOPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）。　　（97·全国·理）
　　本小题主要考查复数的基本概念，复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。
　　解：[解法一]
　　
　　因为OP与OQ的夹角为。
　　因为。
　　由此知ΔOPQ有两边相等且其夹角为直角，故ΔOPQ为等腰直角三角形。
　　[解法2] 因为　所以z³=-i。
　　因为， 所以。
　　于是。由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|。
　　由此知ΔOPQ有两边相等且其夹角为直角，故ΔOPQ为等腰直角三角形。
　　说明：本题难度系数为0.71，属“较易”。解法1是根据两复数的辐角差为90°，由复数辐角的定义得
OP⊥OQ。解法2是根据复数除法的几何意义证出OP⊥OQ。本题还可用复平面上两点距离公式和勾股定理逆定理来证明，不过计算量较大。
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