2017高考数学复习：立体几何初步（二）

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    同理  又∴

∴共面；

（2）由（1）知：，从而可证

同理可证，所以，平面平面．

点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。

例2．已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD，E，F，G，H分别这四条边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA，作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇

分析：证明两条直线异面通常采用反证法。

证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，

所以A、B、C、D四点共面

这与空间四边形ABCD的定义矛盾

所以对角线AC与BD是异面直线

(2)解：∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//AC，且EF=AC.

同理HG//AC，且HG=AC.∴EF平行且相等HG，∴EFGH是平行四边形.

又∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG//BD，∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.

∵AC⊥BD，∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中点E，AC中点F，连EF，则EF即为所求.

点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。

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例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形

简证：由可以证得≌

所以   又可以由正方体的性质证明

所以四边形是平行四边形

例4：如图，已知平面，且是垂足．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，试判断平面与平面

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