不等式的解法举例

　　学法导引

　　本节要求在熟练掌握一元一次、一元二次不等式的解法的基础上，会解有理不等式和含绝对值的不等式及其他的不等式．关键要善于根据有关性质或定理，把它等价变形为一元一次、一元二次不等式(组)．必须注意的是，每一步变形，都应是不等式的等价变形．因此，在解不等式中，“一元一次、一元二次不等式的解法是基础，等价变形是灵魂”．

　　解高次不等式，常用数轴标根法；解含参数的不等式，要注意分类讨论，且分类讨论后的解集一般要分别写出；用零点分段法求含绝对值不等式的解集时，最后应把各段的解集合并．

　　思维整合

　　【重点】本节的重点是有理不等式和含绝对值不等式的解法，其基础又是一元一次、一元二次不等式的解法．学习时要深刻理解不等式的等价变形的本质，熟练掌握一元一次、一元二次不等式的解法，只有这样，解题时才能灵活自如．

　　【难点】本节的难点是解含有参数的不等式．由于参数的取值不同，会导致解集的形式的不同，所以应对参数的取值进行分类讨论．通常根据参数的取值对最高次项的系数的符号，根与根的大小以及不等号的影响来分类讨论．

　　【易错点】1．不等式的变形过程不是等价变形的过程；2．对于含有参数的不等式，不能正确合理地进行分类讨论．

　　能力升级平台

　　【综合能力升级】

　　会解简单的不等式是学好数学的基础．中学数学各章节里都有涉及不等式的求解问题．尤其是求函数的定义域、值域，讨论函数的单调性以及求某变量的取值范围等问题，更是离不开解不等式．各级各类考试中对解不等式的考查主要是融会在解决求变量的范围的问题中，也有单独考查含参数不等式的问题．

　　点拨利用函数的单调性解不等式，是考查不等式的解法的热点题型．求解时，应将各个中间变量转化到给定的单调区间上来．在此条件下将给定的不等式转化为与之等价的不等式组．这里充分运用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，使转化过程和结果都显得简单、明了．

　　【应用创新能力升级】

　　本节知识常和实际应用问题中求某变量的范围的问题相结合，成为考查解不等式的命题趋势和热点。

　　例：国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税R元(叫做税率为R%)，则每年产销量大约将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R的取值应怎样确定?

　　[解析]依题意，每年所收附加税＝年销售额×R%，所以求出征税后年销售额，然后解不等式即可．

　　[解]∵征收附加税后，每年的年销售额为70×(100－10R)万元，

　　∴每年所征收的附加税为70×(100－10R)×R%万元．

　　依题意，70×(100－10R)×R%≥112．

　　∴(10－R)·R≥16，即(R－2)(R－8)≤0．

　　因此，2≤R≤8．

　　答：R的取值范围应定在[2，8]．

　　点拨解决此类问题的一般思路是：根据已知条件，建立不等式，然后解不等式．

　　高考热点点拨

　　解不等式是不等式研究的主要内容之一，是贯穿于中学数学的基础，代数、三角、解析几何、立体几何中无不涉及到解不等式的问题．为此，它是高考必考的内容．在选择题、填空题及解答题中年年出现，既有单独考查解不等式的问题，也有与其他知识贯穿在一起来考查的综合问题．