高一数学双曲线重难点突破

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高一数学双曲线重难点突破

【知识点】

（1）双曲线的定义；定义式： || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a (2 a <| F 1 F 2 |)

（2）两种标准方程：x² /a ² -y ² /b ² =1   (a>0 ， b>0) ，焦点在 x 轴上； y ² /a ² -x ² /b ² =1(a>0 ， b>0) ，焦点在 y 轴上；焦点不明确： mx2 ＋ ny2 ＝ 1(mn<0) ．

（ 3 ）双曲线方程的一般形式： mx2 ＋ ny2 ＝ 1(mn< 0)，其焦点位置有如下规律：当 m >0， n <0时，焦点在 x 轴上；当 m <0， n >0时，焦点在 y 轴上；

（4）双曲线的简单几何性质．

（ 5 ）离心率与渐近线问题：

①焦点到渐近线的距离为 b .

② e ＝ c/a ＝√ [1+ （ b/a ）² ]   >1 ，注意：若 a>b>0 ，则 1 √ 2 ，若 a ＝ b>0 ，则 e ＝√ 2 ，若 b>a>0 ，则 e> √ 2.

③焦点在 x 轴上，渐近线的斜率 k ＝ ±b/a ，焦点在 y 轴上，渐近线的斜率 k ＝ ±a/b.

④与 x ² /a ² -y ² /b ²＝ 1 共渐近线的双曲线方程可设为 x ² /a ² -y ² /b ²＝λ ( λ≠ 0) ．

【例题】

已知双曲线 x ² /a ² -y ² /b ²＝ 1( a >0 ， b >0) 的一条渐近线方程是 y ＝√ 3 x ，它的一个焦点在抛物线 y 2 ＝ 24 x 的准线上，则双曲线的方程为 ( 　　 )

A.x ² /36-y ² /108 ＝ 1     B.x ² /9-y ² /27 ＝ 1     C.x ² /108-y ² /36=1     D.x ² /27-y ² /9 ＝ 1

 

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【拓展训练】

设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 ( 　　 )

A. √ 2     B. √ 3     C.2     D.3

 

【方法技巧】

（ 1 ）使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上．

（ 2 ）对于双曲线的离心率与渐近线的关系．若已知渐近线而不明确焦点位置，那么离心率一定有两解．

（ 3 ）直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分析．尤其是直线与双曲线有且只有一个交点 ⇔ Δ ＝ 0 或 l 平行于渐近线．

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