高一集合基础知识及练习解析

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高一集合基础知识及练习解析

　　一、基本概念

　　1、集合

　　1)元素的特征：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于;

　　2)集合与集合之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含有包含和真包含，用符号⊆，表示.其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子集;

　　3)集合的运算：A∩B={x|x∈A，且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，?UA={x|x∈U，且x∉A}.

　　2、四种命题及其关系

　　1)四种命题;

　　2)四种命题之间的关系：四种命题是指对“若p，则q”形式的命题而言的，把这个命题作为原命题，则其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若非p，则非q”，逆否命题是“若非q，则非p”，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系是相互的。

　　3、充要条件

　　1)充要条件：若p→q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件;若p=q，则p，q互为充要条件;

　　2)充要条件与集合：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p=q等价于A

B，p=q等价于A=B

　　4、逻辑联结词

　　1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;

　　2)带有逻辑联结词的命题真假：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假;命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，只要p，q有一为假，即为假命题;非 p和p为一真一假两个互为对立的命题;

　　3)“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是非p∧非q;命题p∧q的否定是非p∨非q.

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　　二、高频考点及解析

　　【考点一：集合的关系和运算】

　　1、元素与集合的关系：元素x与集合A之间，要么x∈A， 要么x∉A，二者必居其一，这就是集合元素的确定性，集合的元素还具有互异性和无序性.解题时要特别注意集合元素互异性的应用.

　　2、运算性质及重要结论

　　(1)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.

　　(2)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.

　　(3)A∩(?UA)=∅，A∪(?UA)=U.

　　(4)A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=A⇔B⊆A.

　　【例1】已知集合P={x|x2≤1}，M={a}.若P∪M=P，则a的取值范围是 (　　)

　　A.(-∞，-1]　　　B.[1，+∞)

　　C.[-1，1] D.(-∞，-1]∪[1，+∞)

　　解析：因为P∪M=P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得-1≤a≤1，所以a的取值范围是[-1，1].答案;C。

　　【解题方法】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路

　　(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义.

　　(2)根据集合中元素的性质化简集合.

　　(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍.

　　【考点二：命题真假的判断】

　　1、四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价.

　　2、含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真;命题p∧q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假;非p和p为一真一假两个互为对立的命题.

　　3、“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是非p∧非q;命题p∧q的否定是非p∨非q.

　　【例2】原命题：若a=1，则函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 (　　)

　　A.0 B.1 C.2 D.4

　　解析：先考虑原命题，当a=1时，f(x)=x3+x2+x+1，f′(x)=x2+x+=(x+)2+>0，所以f(x)没有极值，故原命题为真，因而逆否命题也为真;其逆命题是“若函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值，则a=1”.由f(x)没有极值，故f′(x)≥0，即x2+ax+a≥0恒成立，这等价于Δ=a2-4×1×a≤0⇔0≤a≤2，所以其逆命题是假命题，因而否命题也为假命题.答案;C。

　　【变式】已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)A.4 B.2 C.1 D.0

　　【解题方法】命题真假的判定方法

　　(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假.

　　(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无必然联系.

　　(3)形如p或q、p且q、非p命题的真假根据真值表判定.

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　　【考点三:充要条件的判断】

　　对于p和q两个命题，若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件;若p⇔q，则p和q互为充要条件.推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性.

　　【例3】设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的( )

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

　　C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

　　【变式】设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+ y2≥4”的(　　)

　　A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

　　C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

　　解析：因为x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x=y=，满足x2+y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2+y2≥4的充分而不必要条件.答案：A

　　【解题方法】对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点

　　(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推 出A，且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A;

　　(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明;

　　(3)要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的必要不充分条件，

　　同理，如果p是q的必要不充分条件，那么非p是非q的充分不必要条件，如果p是q的充要条件，那么非p是非q的充要条件.

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