小学数学应用题典型详解26-幻方问题

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  26  幻方问题

 【含义】    把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

 

 【数量关系】  每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。

                  三级幻方的幻和＝45÷3＝15   

                  五级幻方的幻和＝325÷5＝65

 

 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。

 

 例1    把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

 解  幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为

         （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15

 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。

 设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以  （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4

2

7

6

9

5

1

4

3

8

        即   45＋3Χ＝60    所以     Χ＝5

            接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们

        分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别

        在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。

 

    例2    把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，

        使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

            解  只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为

                   （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18

    假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：

                最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3

                最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4

                最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4

                最大数是7： 18＝7＋6＋5     刚好写成8个算式。

    首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。

9

2

7

4

6

8

5

10

3

然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。

最后确定其它方格中的数。如图。

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