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有余数的除法知识点详细讲解

12-20 22:50:41  浏览次数:461次  栏目:二年级数学知识点

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  对于任意一个整数除以一个自然数,一定存在唯一确定的商和余数,使被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数),也就是说,整数a除以自然数b,一定存在唯一确定的q和r,使a=bq+r(0≤r<b)成立.

  我们把对于已知整数a和自然数b,求q和r,使a=bq+r(0≤r<b)成立的运算叫做有余数的除法,或称带余除法.记为a÷b=q(余r)或a÷b=q…r。读作“a除以b商q余r”,其中a叫做被除数,b叫做除数,q叫做不完全商(简称商),r叫做余数.

  例如5÷7=0(余5),6÷6=1(余0),29÷5=5(余4).

  解决有关带余问题时常用到以下结论:

  (1)被除数与余数的差能被除数整除.即如果a÷b=q(余r),那么b|(a-r).

  因为a÷b=q(余r),有a=bq+r,从而a-r=bq,所以b|(a-r).

  例如39÷5=7(余4),有39=5×7+4,从而39-4=5×7,所以5|(39-4)

  (2)两个数分别除以某一自然数,如果所得的余数相等,那么这两个数的差一定能被这个自然数整除.即如果a1÷b=q1(余r),a2÷b=q2(余r),那么b|(a1-a2),其中a1≥a2.

  因为a1÷b=q1(余r),a2÷b=q2(余r),有a1=bq1+r,a2=bq2+r,从而a1-a2=(bql+r)-(bq2+r)=b(q1-q2),所以b|(a1-a2).

  例如,22÷3=7(余1),28÷3=9(余1),有22=3×7+1,28=3×9+1,从而28-22=3×9-3×7=3×(9-7),所以3|(28-22).

  (3)如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2,r1与r2的和除以b的余数是r,那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r.

  例如,18除以5的余数是3,24除以5的余数是4,那么(18+24)除以5的余数一定等于(3+4)除以5的余数(余2).

  (4)被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变,余数的也随着扩大(或缩小)相同的倍数.即如果a÷b=q(余r),那么(am)÷(bm)=q(余rm),(a÷m))÷(b÷m)=q(余r÷m)(其中m|a,m|b).

  例如,14÷6=2(余2),那么(14×8)÷(6×8)=2(余2×8),(14÷2)÷(6÷2)=2(余2÷2).

  下面讨论有关带余除法的问题.

  例1 节日的街上挂起了一串串的彩灯,从第一盏开始,按照5盏红灯,4盏黄灯,3盏绿灯,2盏蓝灯的顺序重复地排下去,问第1996盏灯是什么颜色?

  分析:因为彩灯是按照5盏红灯,4盏黄灯,3盏绿灯,2盏蓝灯的顺序重复地排下去,要求第1996盏灯是什么颜色,只要用1996除以5+4+3+2的余数是几,就可判断第1996盏灯是什么颜色了.

  解:1996÷(5+4+3+2)=142…4

  所以第1996盏灯是红色.

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