2017高考数学复习：圆锥曲线（四）

5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=

6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）

设抛物线方程为x2=－2py，将A点坐标代入，得100=－2p×(－4)，解得p=12.5，

于是抛物线方程为x2=－25y.

由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16，从而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；

（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．

分析：可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.

 解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得∴所求抛物线方程为

（2）证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：

在直角梯形中：

，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

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