2017高考数学复习：不等式（三）

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2013高考数学复习：不等式（三）

【知识图解】

 

 【方法点拨】

不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.

1.     掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。

2.     一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。

3.     线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。

第3课　线性规划

【考点导读】

1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.

2.  能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.

【基础练习】

1.原点（0，0）和点P（1，1）在直线的两侧，则a的取值范围是02

2. 设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A   )

 

A                  B                C                    D

3.下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　C　）

Ａ．                            Ｂ．                            Ｃ．                            Ｄ．

4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为

5.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为

 

【范例导析】

例1.设x，y满足约束条件，求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。

分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题.

解：先作出可行域，如图所示中的区域，

且求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)

作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移

当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值

当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值

所以zmin=16;zmax=50

点拨：几个结论：

(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。

（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。

例2.已知，

（1）       求的最大和最小值。

（2）       求的取值范围。

（3）  求的最大和最小值。

解析：注意目标函数是代表的几何意义.

解：作出可行域。

（1），作一组平行线l：，解方程组得最优解B（3，1），。解得最优解C（7，9），

（2）表示可行域内的点（x，y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，，又，。

（3）表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方。从图中易得，，（OF为O到直线AB的距离），。，，，。

点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围.

例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系的运动，求出目标函数的最值.

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得

目标函数为．

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

如图：

作直线，

 

即．

平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．             

联立解得．

点的坐标为．

（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

【反馈练习】

1.不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是

2.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是[－1，2]

3.设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是（2，3）．

4.已知实数满足则的取值范围是             

5.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值.

分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值

解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域

直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0

在△ABC内取一点P（1，1），

分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5

得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0

因此所求区域的不等式组为

x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin=  3×（－1）－2×1=－5

因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5

 

 

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