2017高考数学复习：直线和圆的方程（一）

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+4]≥4，当-4k=，即k=时， △AOB的面积有最小值4，则所求直线方程是x+2y-4=0.

(2)解法一:由题设，可令直线方程l为y-1=k(x-2).

分别令y=0和x=0，得A(2-，0)，B(0，1-2k)，

∴|PA|·|PB|=，当且仅当k2=1，即k=±1时， |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0， ∴k=-1，这是直线l的方程是x+y-3=0.

解法二:如下图，设∠BAO=θ，由题意得θ∈(0，)，且|PA|·|PB|=

当且仅当θ=时， |PA|·|PB|取得最小值4，此时直线l的斜率为-1， 直线l的方程是x+y-3=0.

 点评   ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.

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例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.

分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.

解：解法一 设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有

，解得

直线l过A(-2，5)，P(-1，2)，它的方程是3x＋y＋1＝0.

解法二 由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A，B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，

从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.

解法三  设l1、l2与l的交点分别为A，B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.

点评  本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。

 【反馈练习】

1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④

2.设直线l的方程为，当直线l的斜率为-1时，k值为__5__，当直线l 在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3

 3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a，b满足的关系式为

4.若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是

5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为

6．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是

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