数学基础知识的学习方法

    一、数学概念
　　数学中的概念是推理论证和运算的基础。准确地理解概念是学好数学课的前提。中学数学课本中几乎每一章节都是从建立概念，给出定义开始的；每一个定理的论证，每一个公式的推导都是以相应的概念奠基的；每一个例题或习题的演算也都是在明确的概念指导下进行的。然而，在同学当中，不少人存在着一种忽视概念学习，只对“算题”感兴趣的偏向。于是，那些由于概念不清而不会解题或导致解题错误的例子，就屡见不鲜了。这种不良倾向，严重地妨碍着对数学基础知识和基本技能的熟练掌握，妨碍着分析问题、解决问题能力的培养和提高。
　　例如，有这样一道填空题：“3-2 的相反数是___；倒数是___；算术平方根是___；共轭根式是___。”要想正确地填上这四个空白，就必须弄懂“相反数”、“倒数”、“算术平方根”和“共轭根式”这四个概念，否则将一筹莫展。能够正确理解上述四个概念的同学，就会回答出3-2的相反数是2-3；倒数是3+2；算术平方根是-1，共轭根式是3+2。
　　又如设A=有理数，B=无理数，试写出A∩B
　　如果对有理数、无理数这些基本概念不清，就可能把A∩B=ø误写成A∩B=A，或A∩B=B。如果对有理数、无理数概念清楚，但对集合的概念和符号表示不清楚，又会出现A∩B=0，A∩B=｛0｝等错误。
　　我们知道，“0”是数，不是集合，它只能是某一个集合中的元素，｛0｝和ø都是集合，但ø是不含任何元素的集合，而0则是只含有一个元素“0”的集合。它们之间的关系是：0∈{0}，0ø，ø{0}。
　　通过上面两个例子，我们看到，正确理解和运用数学概念，是非常重要的。概念是进行正确思维的前提和依据。没有明确的概念作基础，逻辑思维将是无源之水，无本之木。概念不清就会思维混乱，必然导致计算、推理发生错误。
　　为了正确掌握深刻理解各种重要的数学概念，必须认真阅读教材，仔细领会概念的含意，并通过作一定数量的练习题，加强理解，澄清那些糊涂的概念，具体可以从以下几个方面多下功夫。
　　1．从文字上仔细领会
数学概念都是用文字来表达的，且文字精练、简明、准确，所以对有些数学概念的辨析简直需要“咬文嚼字”。
　　例如，“数列中从第二项起，每一项与前一项之差都等于常数，则此数列称为等差数列”。这个定义粗看起来似乎是对的，仔细一想就会发现问题。应将“常数”改为“同一个常数”。否则“3，5，6，9…”不也成了等差数列吗?因为它们的“差”分别为2，1，3…都是常数。
　　2．从正反面反复比较 
　　为对概念作进一步理解，还可从正面辨析和反面比较。以“角”的概念为例，中学阶段出现过不少种“角”，如直线的倾斜角、直线与平面所成的角、复数的辐角主值等。它们以各种的定义出发，都有一个确定的取值范围。
　　如直线与平面所成的角，是“平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角”。反过来说，如果不规定“锐角”就不是唯一的了。很容易发现斜线和它在平面内的射影所成的角有两个，一个是锐角，另一个是钝角。
　　又如直线y=-x的倾斜角是-吗?由直线的倾斜角的概念“直线向上的方向与X轴正方向所夹的最小正角”。其范围是[0，π]，-显然是不对的，正确的答案应该是。
　　3．从特例中认真验证
　　对概念理解产生偏题的常见病之一是“忘记特例”。
　　例如，“任何数的零次幂都等于1”这句话是不对的，因为0无意义。
　　“在极坐标平面内，如果规定ρ０，θ≤０<２π那么平面内的点与一对有序实数是一一对应的”这句话也不对，因为极点的极角是不确定的。
　　“经过球面上任意两点一定可以作唯一的大圆”这句话粗看起来没有什么错误。因为球面上两点和球心一般只确定一个平面，但当这两点和球心在一条直线上时，就可以作出无数个大圆了。
　　4．从条件的限制加深理解
　　对概念的理解产生偏颇的常见病之二是“忽视条件”。如果忽视了条件，就会曲解题意，使结果面目全非。
　　如“当z∈c时，|z-i|+|z+i|=1表示的图形是椭圆”这个判断是不对的。因为椭圆不只反映了平面内动点到两个定点的距离之和为常数，而且这个常数必须大于这两点定点间的距离。若将上面等式改为大于2的实数，判断就正确了。
　　二、数学定理
　　数学的论题(即判断)，通常称之为命题。命题有真有假，如果命题经过逻辑推理论证为真，就叫做定理。定理是正确的命题，常有人说：“某定理不成立”或“某命题的逆定理不成立”，这些说法都是不妥当的。应该说成“某命题不成。立”或“某定理的逆命题不成立”。
　　1．定理的种类
　　任何定理总是对于对象及其属性加以某种肯定或否定。按照这种性质来分类，定理可分为肯定式与否定式两类。它们的标准形式是：
　　肯定式定理 即“如果某个对象具有性质A，那么这个对象也具有性质B。”其标准形式是：“若A则B”，也可用记号AB表示。例如，“如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行”。
　　否定式定理 即“如果某个对象具有性质A。那么这个对象不具有性质B。”其标准形式是“若A则B，也可用记号AB表示。例如，“不是有理数”。
　　有些定理不只包含一个结论，且有两个或更多个的结论。例如定理“过两条平行线中一条直线的平面，与另一条直线平行或经过另一条直线”，就包含有两个结论。这种定理实际上是把同一条件的几个定理合在一起的，称为联合式定理。它的标准形式是：“若A，则B₁，B₂，…，B_n。
　　假如把n个定理综合起来叙述成一个定理N，而且这n个定理的条件和结论所含事项的双方都面面俱到且互不相容(即两个定理不能同时成立)，那么这个定理N，叫做分断式定理。例如，定理“在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角”，其条件中，把两边的长短关系“等于”， “大于”，“小于”一一说尽，结论也把所对的两角的大小关系一一说完。而且这些关系又各不相容，所以这个定理是分断式定理。假设条件和结论分别是 和 (i=1，2，…，n)，那么分断式定理的标准形式是：“若A_i，则B_i”。显然，分断式定理是一种联合式定理，但联合式定理不一定是分断式定理，因为各分定理可能相容。
　　2．定理的学习
　　(1)深刻理解定理的条件和结论
　　数学定理是反映数学对象的属性之间的关系的真理。
　　每一个定理，都要在一定的条件下才能成立，所以要学好定理，必须深刻理解定理的条件和结论，并掌握其适用范围。平行或垂直的判定定理和性质如果对于数学定理的条件与结论模糊不清，一知半解，就会导致思维混乱，结果错误。
　　如在计算(sin10º+icos10º)³这个题目时，忽略了棣莫佛定理对于复数的三角形式才可以运用的条件，就会得到(sin10º+icos10º )³=sin30º+icos30º=+i的错误结果。
　　又如已知a、b为互不相等的实数，且有a^a=7-3a,b²=7-3b，求

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