参数方程化普通方程

　1．把参数方程化为普通方程(1)　(θ∈R，θ为参数)
　　解:∵ y=2+1-2sin²θ, 把sinθ=x代入，∴ y=3-2x²,

　　又∵ |sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴ |x|≤1, 1≤y≤3,
　　∴ 所求方程为y=-2x²+3 　(-1≤x≤1, 1≤y≤3)
　　(2)　(θ∈R，θ为参数）
　　解:∵ x²=(sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴ x²=1+2y。
　　又∵ x=sinθ+cosθ=sin(θ+)　　y=sinθcosθ=sin2θ
　　∴ |x|≤，|y|≤。 ∴ 所求方程为x²=1+2y (|x|≤, |y|≤)
　　小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
　　(3)　(t≠1, t为参数)
　　法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
　　x+y==1,　又x=-1≠-1，y=≠2,
　　∴ 所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
　　法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t,
　　∴ (x+1)t=1-x，即t=　代入　y==1-x，∴ x+y=1，（其余略）
　　这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
　　(4)(t为参数)
　　分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t²而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法:
　　法一:x=-1, ∵t²≥0, t²+1≥1,∴ 0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。
　　法二:解得t²=≥0, ∴ -1<x≤1,同理可得出y的范围。
　　(5) (t为参数)
　　分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。
　　由x=得x²=≥0, ∴-1<x≤1,由y=, t=0时，y=0；
　　t≠0时，|y|=≤=1，从而|y|≤1。
　　法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，
　　x²+y²=()²+()²===1。
　　法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单
　　由x=得t²=，代入y==t(1+x)
　 ∴t=　再代入x=，化简得x²+y²=1。
　　法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象
　　可令t=tgθ，θ∈(-)，∴x==cos2θ,　y==sin2θ,
　　∴ x²+y²=1，又2θ∈(-,)，∴ -1<x=cos2θ≤1, -1≤y=sin2θ≤1,所求方程为x²+y²=1(x≠-1)。
　　

2．已知圆锥曲线方程是
　　1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
　　2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。
　　解:1）由已知，　由(1) 得t=代入(2)
　　y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)²=-(y-4sinφ+5)
　　为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。
　　2）由已知　∴ =1，
　　表示中心在(3t+1, -6t²-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3，∴ e=。
　　分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。
3．抛物线y²=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。
　　解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y²=4p(x+p)
　　∴ k²x²-4px-4p²=0, 若A，B坐标为(x₁, y₁), (x₂, y₂) 则
　　∴ x_M=, y_M=,
　　∵ AB⊥CD,∴ CD方程为y=-x，代入y²=4p(x+p)，
　　∴ x²-4px-4p²=0，设C(x₃, y₃),D(x₄,y₄)
　　
　　∴ N(2pk², -2pk) 则G点坐标(x,y)为
　　y²=p²(+k²-2)=p²(-2)=p(x-2p)

　　x=p(k²+)≥p·2=2p，而y∈R在方程中都已体现，
　　∴ 轨迹方程为y²=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。
　　说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程 θ∈[0,π]，是个圆，但消参之后得x²+y²=1(|x|≤1, |y|≤1)却无法说明这一点。