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有关平均不等式的证明例题,http://www.170xue.com
平均不等式的证明方法
对于几个正数的平均不等式证明并不要求，常见的是对于2个或3个正数的结论：
，（a，b，c>0，当且仅当a=b=c时等号成立）
例1．a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b
2+c
2)+b(c
2+a
2)+c(a
2+b
2)>6abc。
证法1：由b
2+c
2≥2bc，a>0，得 a(b
2+c
2)≥2abc，同理b(c
2+a
2)≥2abc，c(a
2+b
2)≥2abc
∵ a，b，c不全相等，∴ 上述三个等号不同时成立，三式相加，有a(b
2+c
2)+b(c
2+a
2)+c(a
2+b
2)>6abc。
证法2：∵ a，b，c是不全相等的正数，
∴ a(b
2+c
2)，b(c
2+a
2)，c(a
2+b
2)均为正数，由三个数的平均不等式得；
∴ a(b
2+c
2)+b(c
2+a
2)+ c(a
2+b
2)
∴ 不等式成立。
例2．求证lg9·lg11<1。
证明：∵ lg9>0，lg11>0，∴ ，
∴ ，∴lg9·lg11<1。
例3．若a>b>0，求证：。
分析：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”。因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理。
证明：，∵ a>b>0，∴ a-b>0，b>0，，
∴ ，
∴ 原不等式成立，且，即a=2，b=1的等号成立。
例4．x，y，z∈R
+，求证:
证明：∵ x，y，z∈R
+，∴ ，
同理 ，∴ ，
∴原式成立。
，有关平均不等式的证明例题
