向量的运算知识点总结及例题

一.向量的几何运算
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即 ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：
① ___；
② ____；
③ _____
（答：① ；② ；③ ）；

（2）若正方形 的边长为1， ，则 ＝_____（答： ）；

（3）若O是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为____（答：直角三角形）；
（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为___（答：2）；
（5）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为____（答： ）
二.向量的坐标运算：

设 ，则有以下几点：
(1)向量的加减法运算： ， 。

如①已知点 ， ，若 ，则当 ＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答： ）；
②已知 ， ，则____（答： 或 ）；
③）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点坐标是        （答：（9,1））
(2)实数与向量的积： 。
(3)若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如设 ，且 ， ，则C、D的坐标分别是__________（答： ）；
(4)平面向量数量积： 。如已知向量 ＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。
（1）若x＝ ，求向量 、 的夹角；
（2）若x∈ ，函数 的最大值为 ，求 的值
（答： 或 ）；
(5)向量的模： 。如已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ＝_____（答： ）；
(6)两点间的距离：若 ，则 。如如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 ，其中 分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为 。
（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；
（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 中的方程。
（答：（1）2；（2） ）