初二上册平行线的证明练习题及答案

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　　　∴∠AMD=∠AED-∠EDC=35°，

　　　∵∠BAE=35°，

　　　∴∠BAE=∠AMD，

　　　∴AB∥DC．

　　3．解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM=90°，∠MCB=30°，

　　　∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°；

　　　（2）环湖路的长=AB+BC-CD=3km；

　　　（3）不能判定DC∥AB．

　　　加上的条件可以是：CA平分∠DCB．

　　　证明：∵AB=AC，

　　　∴∠CAB=∠ACB，

　　　∵CA平分∠DCB，

　　　∴∠DCA=∠ACB，

　　　∴∠DCA=∠CAB，

　　　∴DC∥AB．

　

7.4 平行线的性质

　　专题　 与平行线有关的探究题

　　1．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）
　　

　　2．利用平行线的性质探究：

　　如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：

　　（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；

　　（2）当动点P落在第③、第部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．
　　　 　　
　　答案：

　　1．解：如图：

　　　

　　（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；

　　证明：过点P作AB∥PF，

　　∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，

　　∴（两直线平行，内错角相等），

　　∴∠APC=∠PAB+∠PCD．

　　（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

　　（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；

　　（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.

　　2．解：（1）如图，当动点P落在第②部分时，∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；

　　（2）当动点P落在第③部分时，∠PAC=∠APB+∠PBD；

　　当动点P落在第部分时，∠PAC =∠APB+∠PBD．

　　证明：如图，∵∠PAC=∠AEB，∠AEB=∠PBD+∠APB，

　　∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．

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7.5 三角形内角和定理

　　专题　 与三角形内角和外角有关的探究题

　　1．如下几个图形是五角星和它的变形．

　　（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；

　　（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；

　　（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．

　　2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.

　　探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下:

　　∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

　

　　探究2：如图2，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.

　　探究3：如图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

　　　　　　

　　答案：

　　1．解：（1）如图，连接CD．

　　在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．

　　∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
　　　　　　　　∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.

　　（2）无变化．

　　根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．

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