人教版七年级上册数学第一章有理数知识点

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　　整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。

　　无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626......

　　而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

　　包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

　　这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

　　数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。

　　所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

　　有理数分为整数和分数

　　整数又分为正整数、负整数和0

　　分数又分为正分数、负分数

　　正整数和0又被称为自然数

　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

　　全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

　　有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。

　　有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：

　　①加法的交换律 a+b=b+a；

　　②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

　　③存在数0，使 0+a=a+0=a；

　　④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

　　⑤乘法的交换律 ab=ba；

　　⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；

　　⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

　　⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；

　　⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

　　⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。

　　此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

　　有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。

　　值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

　　有理数加减混合运算

　　1.理数加减统一成加法的意义：

　　对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。

　　2.有理数加减混合运算的方法和步骤：

　　（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

　　（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

　　一般情况下，有理数是这样分类的：

　　整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数

　　整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。

　　凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数

　　一个困难的问题

　　有理数的边界在哪里？

　　根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。

　　但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。

　　竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。

　　定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。

　　证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

　　关于无理数与有理数无法比较的说明：

　　对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数。则无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多。

　　对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明。

　　无限不循环小数不是有理数，如：

　　0.10100100010000100000......

　　0.1200000012000012000000120000......

　　π 等是无限不循环小数，所以不是有理数

　　循环小数化分数的方法

　　0.777777......

　　有一个数循环，分母是一个9，循环数是7.化分数后是7/9

　　0.535353......

　　有两个数循环，分母是两个9，循环数是53.化分数后是53/99

　　我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).

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