第一册对数函数的应用 -数学教案

教学目标：①掌握对数函数的性质。

　　　　　　　　　 ②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复

　　　　　　　　　　　合函数的定义域、值 域及单调性。

　　　　　　　　　 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高

　　　　　 解题能力。

教学重点与难点：对数函数的性质的应用。

教学过程设计：

⒈复习提问：对数函数的概念及性质。

⒉开始正课

　 1 比较数的大小

例 1 比较下列各组数的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？

生：这两个对数底相等。

师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？

生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。

师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0<a<1时，函数y=logax单

　　　 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递

　　　 增，所以loga5.1<loga5.9。

板书：

解：Ⅰ）当0<a<1时，函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，

　　　 ∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

　 Ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

　　　 ∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9

师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？

生：这三个对数底、真数都不相等。

师：那么对于这三个对数如何比大小？

生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，

log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板书：略。

师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函

数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数

函数图象的位置关系来比大小。

　 2 函数的定义域, 值 域及单调性。

例 2 ⑴求函数y=的定义域。

　　 ⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要

使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，

被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于

零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求

它们共同作用的结果。）

生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。　

板书：

　解：∵　　 2x-1≠0　　　　　 x≠0.5

　　　　　　　 log0.8x-1≥0 ，　 x≤0.8

　 　　　　　　x>0　　　　　　　 x>0

　 　　∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

师：接下来我们一起来解这个不等式。

分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，

　 再根据对数函数的单调性求解。

师：请你写一下这道题的解题过程。

生：<板书>

　解：　 x2+2x-3>0 　　　　　x<-3 或 x>1　 　　　

　　　　　 (3x+3)>0　 　　,　　 x>-1

　　　　　 x2+2x-3<(3x+3)　　　 -2<x<3

　　　　 不等式的解为：1<x<3

例 3 求下列函数的值域和单调区间。

⑴y=log0.5(x- x2)

⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。

下面请同学们来解⑴。

生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。

板书：

　 解：⑴∵u= x- x2>0, ∴0<x<1

　　　　　u= x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

　　　 　∴y= log0.5u≥log0.50.25=2

　　　 　∴y≥2

　　　 x　　　 x(0,0.5]　　 x[0.5,1)

　 u= x- x2

 y= log0.5u

　　y=log0.5(x- x2)

函数y=log0.5(x- x2)的单调递减区间(0,0.5]，单调递 增区间[0.5,1)

注：研究任何函数的性质时，都应该首先保证这个函数有意义，否则

　 函数都不存在，性质就无从谈起。

师：在⑴的基础上，我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什

么区别？

生：⑴的底数是常值，⑵的底数是字母。

师：那么⑵如何来解？

生：只要对a进行分类讨论，做法与⑴类似。

板书：略。

⒊小结

这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能

通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。

⒋作业

　 　⑴解不等式

　　 ①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数)

⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

①求它的单调区间；②当0<a<1时，分别在各单调区间上求它的反函数。

　 ⑶已知函数y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

　　 ①求它的定义域；②讨论它的奇偶性;　 ③讨论它的单调性。

　 ⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

①求它的定义域；②当x为何值时，函数值大于1；③讨论它的

单调性。

5.课堂教学设计说明

　 这节课是安排为习题课，主要利用对数函数的性质解决一些问题，整个一堂课分两个部分：一 .比较数的大小,想通过这一部分的练习，

培养同学们构造函数的思想和分类讨论、数形结合的思想。二.函数的定义域, 值 域及单调性，想通过这一部分的练习，能使同学们重视求函数的定义域。因为学生在求函数的值域和单调区间时，往往不考虑函数的定义域，并且这种错误很顽固，不易纠正。因此，力求学生做到想法正确，步骤清晰。为了调动学生的积极性，突出学生是课堂的主体，便把例题分了层次，由易到难，力求做到每题都能由学生独立完成。但是，每一道题的解题过程，老师都应该给以板书，这样既让学生有了获取新知识的快乐，又不必为了解题格式的不熟悉而烦恼。每一题讲完后，由教师简明扼要地小结，以使好学生掌握地更完善，较差的学生也能够跟上。