高中数学必修2：空间几何体单元测试及答案

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　　22．(本题满分12分)如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．

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　　参考答案
　　
　　1[答案]C

　　[解析]图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．

　　2[答案]C

　　[解析]设△ABC的边AB上的高为CD，以D为原点，DA为x轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′，

　　则A′B′＝AB，C′D′＝12CD.

　　S△A′B′C′＝12A′B′•C′D′sin45°

　　＝24(12AB•CD)＝24S△ABC.

　　3[答案]D

　　[解析]本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四
　　棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．
　　
　　[点评]本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．

　　4[答案]A

　　[解析]该几何体是长方体，如图所示．
　　
　　5[答案]C

　　[解析]由于正方体的体积是64，则其棱长为4，所以其表面积为6×42＝96.

　　6[答案]A

　　[解析]V＝13π12r2×2h＝16πr2h，故选A.

　　[答案]C

　　7[解析]设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，所以36πr24πr2＋16πr2＝95.

　　8[答案]C

　　[解析]由三视图可知该几何体是圆锥，S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)，故选C.

　　9[答案]A

　　[解析]设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r.

　　∴S侧＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.

　　10[答案]C

　　[解析]设球的半径为R，

　　则圆柱的底面半径为R，高为2R，

　　∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝43πR3.

　　∴V圆柱V球＝2πR343πR3＝32，

　　S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2.

　　∴S圆柱S球＝6πR24πR2＝32.

　　11[答案]B

　　[解析]该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S＝6×8＝48，则该几何
　　体的体积V＝13Sh＝13×48×5＝80.
　　
　　12[答案]B

　　[解析]画出该几何体的正视图为 ，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B项满足条件．

　　13[答案]1423π

　　[解析]圆台高h＝32－?2－1?2＝22，

　　∴体积V＝π3(r2＋R2＋Rr)h＝1423π.

　　14[答案]36

　　[解析]该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD，高h＝6，
　　
　　则其体积V＝Sh＝12?2＋4?×2×6＝36.

　　[答案]24π2＋8π或24π2＋18π

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　　15[解析]圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.

　　(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.

　　所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.

　　(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6，即r＝3.所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.

　　16[答案]2(1＋3)π＋42

　　[解析]此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×23＝43π，S底＝π×22＝4π，
　　
　　S△SAB＝12×4×22＝42，

　　所以S表＝43π2＋4π2＋42

　　＝2(1＋3)π＋42.

　　17[解析]该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其

　　三视图如图所示．
　　
　　18[解析]设圆柱的底面圆半径为rcm，

　　∴S圆柱表＝2π•r•8＋2πr2＝130π.

　　∴r＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5cm.

　　则圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×8＝200π(cm3)．

　　19[解析]由三视图可知该几何体是一个正三棱台．

　　画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水

　　平放置的平面内画出它们的直观图；

　　(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；

　　(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．
　　
　　20[解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.
　　
　　在Rt△SOP中，SO＝7(m)，OP＝12BC＝1(m)，
　　
　　所以SP＝22(m)，

　　则△SAB的面积是12×2×22＝22(m2)．

　　所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m2)，

　　21[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h′.

　　圆锥的高h＝42－22＝23，

　　又∵h′＝3，

　　∴h′＝12h.∴r2＝23－323，∴r＝1.

　　∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′

　　＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.

　　22[解析]由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．

　　又S半球面＝12×4π×22＝8π(cm2)，

　　S圆台侧＝π(2＋5)?5－2?2＋42＝35π(cm2)，

　　S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，

　　即该几何全的表面积为

　　8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．

　　又V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，

　　V半球＝12×4π3×23＝16π3(cm3)．

　　所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(cm3)．

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