五年级奥数专题二十一:用等量代换求面积

　一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几 何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到 解题思路。

　　　　例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

　　　　分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面 积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分 的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米²）。

　　所以，阴影部分的面积是17厘米²。

　　　　例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米²，求平行四边形ABCD的面积。

　　　　分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米²，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米²，所以平行四边形ABCD的面积等于

　　10×8÷2+10=50（厘米²）。

　　　　例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米²。求ED的长。

　分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米²，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米²。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。

　　梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米²），

　　三角形ECB面积=36-18=18（厘米²），

　　EC=18÷6×2=6（厘米），

　　ED=6-4=2（厘米）。

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