小学四年级奥数专题（四）数的整除性

　我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

　　数的整除具有如下性质：

　　性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

　　性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整 除。

　　性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么 126能被9×7＝63整除。

　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

　　（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

　　（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

　　其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被 4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个 数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。

　　类似地可以证明（5）。

　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

　　837＝800＋30＋7

　　＝8×100＋3×10＋7

　　＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7

　　＝8×99＋8＋3×9＋3＋7

　　＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整 除，就能判断837能被9整除。

　　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

　　（4＇）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

　（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

　　（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

　　例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

　　234，789，7756，8865，3728，8064。

　　解：能被4整除的数有7756，3728，8064；

　　能被8整除的数有3728，8064；

　　能被9整除的数有234，8865，8064。

　　例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5＋6＋□＋2＝13＋□

　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是 5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

　　到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个 数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个 数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。

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