点、直线、平面之间的位置关系单元测试及答案

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　　高中数学必修2：点、直线、平面之间的位置关系测试

　　一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

　　1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（　　）

　　A．相交　　B．平行　C．异面　　D．平行或异面

　　2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　　）

　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6

　　3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）

　　A．平行　　B．相交　C．垂直　D．异面

　　4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）

　　A．30°　　B．45°　C．60°　　D．90°

　　5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（　　）

　　A．a⊂α，b⊂α　　B．a⊂α，b∥α　　C．a⊥α，b⊥α　　D．a⊂α，b⊥α

　　6．下面四个命题：（　　）

　　①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

　　②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
　　
　　③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

　　④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

　　其中真命题的个数为

　　A．4　　B．3　C．2　　D．1
　　
　　7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：（　　）

　　①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

　　其中一定正确的有

　　A．①②　　B．②③　　C．②④　　D．①④

　　8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
　　
　　A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b　　B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b

　　C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β　　D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

　　9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（　　）

　　A．AB∥m　　B．AC⊥m　　C．AB∥β　D．AC⊥β
　　
　　10．(2012•大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）
　　
　　A．－45　　B. .35　　C.34　　D．－35
　　
　　11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（　　）

　　A.33　　B.13　　C．0　　D．－12

　　12．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是（　　）
　　
　　A．90°　B．60°　　C．45°　　D．30°

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　　二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

　　13．下列图形可用符号表示为________．
　　
　　14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．

　　15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
　　
　　16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
　　
　　①AC⊥BD；
　　
　　②△ACD是等边三角形；

　　③AB与平面BCD成60°的角；

　　④AB与CD所成的角是60°.

　　其中正确结论的序号是________．
　　
　　三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

　　17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
　　
　　求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
　　
　　(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
　　
　　[分析]本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．

　　18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
　　
　　(1)证明：CD⊥平面PAE；

　　(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

　　19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
　　
　　(1)证明：AM⊥PM；

　　(2)求二面角P－AM－D的大小．

　　20．(本小题满分12分)(2010•辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
　　
　　(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
　　
　　(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

　　21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
　　
　　(1)求证：GF∥底面ABC；

　　(2)求证：AC⊥平面EBC；

　　(3)求几何体ADEBC的体积V.

　　[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.

　　22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
　　
　　(1)求证：AC⊥BC1；
　　
　　(2)求证：AC1∥平面CDB1；

　　(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

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　　参考答案

　　1[答案]D

　　2[答案]C

　　[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
　　
　　第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1

　　与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，

　　第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

　　3[答案]C

　　[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；

　　2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；

　　3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．

　　无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．

　　4[答案]D

　　[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.

　　5[答案]B

　　[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．
　　
　　6[答案]D

　　[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．

　　7[答案]D

　　[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．
　　
　　8[答案]D

　　[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.

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