五年级奥数专题二十七:逻辑问题（1）

在小学四年级奥数中已经学习过用列表法和假设法解答逻辑推理问题。从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。

　　逻辑推理必须遵守四条基本规律：

　　（1）同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。

　　（2）矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。

　　（3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。

　　（4）理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。

　　我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“√”与“×”只有一个成立，就是利用了排中律。

　　　　例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：

　　（1）英语老师和数学老师是邻居；

　　（2）王仁年纪最小；

　　（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；

　　（4）体育老师比语文老师年龄大；

　　（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。

　　请判断各人分别教的是哪两门课程。

　　　　分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出右图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。

　　由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到左下表。

　　由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到右上表。

　　由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。

　　所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。

　　以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。

　　例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。

　　　　例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：

　　（1）小明不在一小；

　　（2）小芳不在二小；

　　（3）爱好乒乓球的不在三小；

　　（4）爱好游泳的在一小；

　　（5）爱好游泳的不是小芳。

　　问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？

　　　　分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：

　　因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。

　　由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。

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