五年级奥数专题十八:最大最小

　在小学数学中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。

　　　　例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？

　　　　分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：

　　15=1+14，1×14=14；

　　15=2+13，2×13=26；

　　15=3+12，3×12=36；

　　15=4+11，4×11=44；

　　15=5+10，5×10=50；

　　15=6+9，6×9=54；

　　15=7+8，7×8=56。

　　由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

　　　　结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。

　　　　例2比较下面两个乘积的大小：

　　a=57128463×87596512，

　　b=57128460×87596515。

　　　　分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数 的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460 多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即

　　57128463+87596512=57128460+87596515。

　　因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。

　　　　例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？

　　　　分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为

　　长+宽=36÷2=18（米），

　　由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米²）。

　　　　例3说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

　　　　例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？

　　　　分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

　　所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：

　　48=1×48，1+48=49；

　　48=2×24，2+24=26；

　　48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

　　48=6×8，6+8=14。

　　两个因数之和最小的是6+8=14。

　　　　结论2两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

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