五年级奥数专题五:数的整除性（1）

　　三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。

　　数的整除性质主要有：

　　（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

　　（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

　　（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

　　（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

　　（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

　　灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

　　　　例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

　　　　分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。

　　　　例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？

　　　　分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，

　　因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。

　　　　例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

　　　　分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。

　　要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

　　（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；

（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；

　　（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。

　　容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。

　　对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。

　　对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。

　　综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。，五年级奥数专题五:数的整除性（1）