小学五年级奥数专题十:质数与合数

　自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：

　　第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。

　　第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，…

　　第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，…

　　上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。

　　　　例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？

　　　　分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：

　　1既不是质数也不是合数。

　　2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；

　　3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；

　　类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；

　　把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。

　　经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：

　　2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，

　　43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

　　这些质数同学们应当熟记！

　　细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，…的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是

　　11×A≤100（其中A为整数），

　　显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=2²，6=2×3，8=23，9=3²，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去了。

　　要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数 2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的 数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。

　　　例2 判断269，437两个数是合数还是质数。

　　　　分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K²，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。

　　因为269＜17²=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。

　　因为437＜21²=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。

　　对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。

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